01 NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES 7

Tema 1 NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES Página 7

01 NÚMEROS ENTEROS Y DECIMALES

1.  Suma de números enteros

1.1.   Método de la recta numérica

Se trata de situar los números en una recta. En el centro está el cero, a la derecha los números negativos. A la izquierda los positivos

-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

Suma -3+5. SOLUCIÓNà+2

-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

Suma -5+8. SOLUCIÓNà+3

-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

1.2.  Método numérico

Caso 1. Números con el mismo signo. Se suman. El signo que se pone es el signo que tengan los números.

Caso 2. Si los nº tienen distinto signo, se restan los números sin su signo. El mayor menos el menor. Luego se pone el signo del mayor

3+7=10	-3-7=-10	2-8=-6	-4+7=3	9+4=13
-3+7=4	8-2=6	-2-8=-10	4-7=-3	-9-4=-13
3-7=-4	8+2=10	4+7=11	-4-7=-11	-9+4=-5

ACTIVIDADES

1. RESUELVE LAS SIGUIENTES SUMAS DE DOS NÚMEROS ENTEROS.

8 – 6 = 2	– 8 + 6 = -2	13 – 17 = -4	– 45 + 87 = 42
– 8 – 6 = -14	– 13 – 17 = -30	88 + 45 = 133	– 45 – 47 = -92

2. RESUELVE LAS SIGUIENTES SUMAS DE MAS DE DOS NÚMEROS ENTEROS.

4 – 5 + 6 = 5	– 9 – 2 + 7 = -4	– 56 – 17 + 12 – 3 = -64	107 – 86 + 14 = 35
– 7 + 4 + 8 = 5	13 – 15 + 17 – 12 = 3	23 + 45 – 54 – 13 = 1	– 1 – 11 – 111 = -123

3. CALCULA MENTALMENTE EL VALOR DE LA INTERROGACIÓN, SU NÚMEROS Y SU SIGNO

a)        1 – ? = – 1          x=2

b)                       ? – 2 = – 3          x=-1

c)         8 + ? = 6             x=2

d)                       – 5 + ? = – 10     x=-5

e)        7 – ? = – 1          x=8

f)          – 9 + ? = 0          x=9

g)        5 – 6 + ? = 5             x=6

h)                       – 2 + ? = – 2             x=0

i)           ? + 5 – 1 = – 2    x=-6

4. A). LA TEMPERATURA EL LUNES FUE DE 5ºC BAJO CERO Y EL MARTES FUE DE 8ºC. ¿CUÁNTOS GRADOS SUBIÓ LA TEMPERATURA ENTRE EL LUNES Y EL MARTES?

-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

SI LA TEMPERATURA ENTRE EL MARTES Y EL MIÉRCOLES BAJÓ 15ºC, ¿CUÁL FUE LA TEMPERATURA DEL MIÉRCOLES?

8 – 15 = – 7ºC

5.  UNA PERSONA NACIÓ EN EL AÑO 23 A.C. Y VIVIÓ 47 AÑOS, ¿EN QUÉ AÑO MURIÓ?

Del 23 a.c. al año 0, son 23 años. Del año 0 al año 24 son, 23 + 24 = 47.

Murió en el año 24 d.c.

6.  UNA PERSONA TOMA UN ASCENSOR EN LA PLANTA 4 DEL SÓTANO Y SUBE 23 PLANTAS. ¿A QUÉ PLANTA LLEGA?

Está en la planta -4 y sube 23 plantas.

                              -4 + 23 = 19 planta.

7. EN EL BANCO TENGO 85€ PERO ME LLEGA UNA FACTURA DE 123€, ¿CUÁNTO DINERO HE DE INGRESAR EN LA CUENTA PARA QUE PUEDA PAGAR LA FACTURA?

123 – 85 = 38 €

2.  Multiplicación y división de números enteros

2.1 Método para la división y multiplicación

+ x + = +	- x - = +	- x + = -	+ x - = -
más x más = más	menos x menos = más	menos x más = menos	más x menos = menos

EJEMPLOS

3x7=21	(-3)x(-7)=21	(-8):2=4	(-24):8=-3	9x3=27
-12:6=-2	8:(-2)=-4	(-2)x(-8)=16	14:(-7)=-2	27:(-9)=-3
3x(-7)=-21	8:(2)=10	(-4)x(+7)=28	(-144):12=-12	(-9)x4=-36

ACTIVIDADES

1.- RESUELVE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE DOS NUMEROS ENTEROS

a)   2 x 2 = 4

b) 8 : 4 = 2

c)  9 x 8 = 72

d)  6 x (-7) = -42

e)   9 x (-5) = -45

f)     3 x (-8) = -24

g)   -4 x (-7) = 28

h)  (-9) x 5 = -45

i)      (-9) : (-3) = 3

2.- RESUELVE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE DOS NÚMEROS ENTEROS:

a)2x(-13)=-26

b)18:(-3)=-54

c)(-24):12=-2

d)(-104):(-4)=26

e)800:40=20

f)(-14)x12=168

g)(-66):11=-6

h)12x(-3)=-36

i)(-245):7=35

3.- RESUELVE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE MÁS DE DOS ENTEROS:

a)4x(-5)x6=-120

b)(-7)x(-2)x8=112

c)(-9)x(-3)x(-1)=-27

d)15:(-3)x4=-20

e)(-8)x6:(-3)=16

f)66:(-11)x15=-90

g)(-10):2:(-5)=1

h)20x(-4):(2)=-40

i)2074:(-2)x0=0

4.- CALCULA MENTALMENTE EL VALOR DE LA X

a) 8x=24                   x=3

b) 1000/x=-10   x=-100

c) -30/x=15              x=-2

d) x/23=0                 x=0

e) (-9)·x=54        x=-6

f) 2x·(-3)=30      x=-5

g) 2x=-48           x=-24

h) x(-4)·5=60     x=-3

i) x/(-6)=4          x=-24

j) -3·(-1)x=18     x=6

k) x·8=-72          x=-9

l) 20/(-10)·x=24       x=12

5.- Un hotel dispone de 11 plantas y en cada planta hay 27 habitaciones.

a) Calcula cuántas habitaciones tiene el hotel. Plantea una sola operación y obtén el resultado.

11·27=297

b)-Si tenemos lleno el hotel y cobramos 50€ por cada día de habitación, ¿cuánto dinero podremos ingresar en un día? ¿Y en una semana?

297·50=14.850 € por día.                  14850·7=103.950 € por semana

6.- Observamos el suelo de una habitación rectangular y contamos 9 baldosas de largo y 6 baldosas de ancho.

a) ¿Cuántas baldosas hay en la habitación?        6·9=54 baldosas

b) Si cada baldosa mide 50 cm de largo y 25 cm de ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la habitación?  9·50=450cm de largo.

6·25=150cm de ancho

7.- Observa el plano del avión Airbus A319-100 de la compañía British Airways de la imagen en el que hay 22 filas de 6 asientos cada una.

a) Calcula el nº de pasajeros que puede transportar con una sola operación.

22·6=132 pasajeros

b) Si la masa media de los pasajeros del avión es de 70 kg, ¿cuál es la masa total de las personas que viajan en el avión cuando va completamente lleno?

70·132=9.240kg

3.  Operaciones combinadas sin paréntesis

ACTIVIDADES Primero resolvemos los productos y las divisiones.

1.- RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES COMBINADAS CON TRES NÚMEROS ENTEROS

a) 2·3+4 = 10

b) 2-3·4 = -10

c) 4:2-3 = -1

d) 8-6·2 = -4

e) -3·7+21 = 0

f) -9+5·9 = 36

g) 6+6:6 = 7

h) 10·2-2 = 18

i) -5-15:5 = -8

2.- Resuelve las siguientes operaciones con 4 números enteros:

a) 7 – 3·4 + 2 = – 3

b) – 6:3 – 3·2 = – 8

c) 1 + 8:4 – 6 = – 3

d) – 8:8 – 3 +12 = 8

e) 14 – 13 – 12:2 = – 5

f) – 9·3 – 8 – 7 = – 42

g) 8:4:2 – 2 = – 1

h) – 24 – 12:6 – 0 = – 26

i) – 10 – 1 + 5·2 = – 1

3.- RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES COMBINADAS:

a) –3·2 – 3·2 + 3 = – 9

b) – 8:2 + 2·3·4 = 20

c) – 4 + 3·5 – 8:2 = 7

d) 7·3 + 3·7 – 7·7 = – 7

e) 15:3 – 3 + 6·7 = 44

f) – 8 – 9:3 + 12 – 4 = – 3

g) 6:3 – 4·2 + 9 + 12:3 = 7

h) 0 – 2·6 + 8:2 + 1 = – 7

i) – 48:2 – 2:1 + 24 + 12 = 10

4.- TIENES 20 CANICAS Y LAS REPARTES ENTRE 4 AMIGOS. UNO DE ELLOS NO QUIERE Y TE LAS DEVUELVE; OTRO TIENE UN AGUJERO EN EL BOLSILLO Y PIERDE 2. EL 3º, LAS GUARDA EN UNA CAJA DONDE YA TENÍA 10; Y EL 4º REGALA 3 A SU HERMANO. ¿CUÁNTAS CANICAS TENÉIS AL FINAL CADA UNO?  20/4=5 canicas para cada amigo. Pero uno no quiere y me las da. Entonces

Yo tengo 0 + 5 = 5

1º amigo 5 – 5 = 0

2º amigo 5 – 2 = 3

3º amigo 10 + 5 = 15

4º amigo 5 – 3 =2

4.  Operaciones combinadas con paréntesis

ACTIVIDADES Primero lo que hay dentro del paréntesis. Después se quita el paréntesis y se opera. Primero productos y divisiones, después sumas +

1.- RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES

a) 2·(–3) + 1 = – 5

       –6+1

b) 1 – (– 5)·2 = 11

       1 –(–10)

       1 + 10

c) –(–6) – 3 = 3

       +6–3

d) –8:(2) + (–3) = – 7

       –4–3

e) 4 – 9:( – 3) = 7

       4+3

f) 12:( –2) – (–12) = 6

g) 6 + (–5) – (–10) = 11

       6–5+10

h) –20:(5)·( –2) = 8

       –4·(–2)

i) –(–8)·( –2) + 4 = – 12

       8·(–2)+4

       –16+4

2.- RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON LOS NÚMEROS 2, 3, 4 y 5

a) 2·(– 3) + (4 – 5) = –6 –1 = –7

b) 2– (– 3 + 4)·5 = 2 – 5 = – 3

c) –(2 + 3):5 + 4 = –1 + 4 = 3

d) – 2·(3 + 4) – (–5) = –2·7 + 5 = – 9

e) (2–3)·( –4) – 5 = –1·(–4) – 5 = 4–5 = –1

f) 3·(4:2 – 5) = 3·(2–5) = 3·(–3) = –9

g) –(3 + 4:2 + 5) = –(3 + 3 + 5) = –11

h) –4:(–2) – 3·(–5) = 2+15 = 17

i) 5:(– 3 – 2) + 4 = 5:(– 5) + 4 = –1+4 = 3

 3.- Resuelve las siguientes operaciones:

a) 2·(–3 + 1) + 1 = 2·(–2) + 1 = –4+1 = –3

b) 1 –(–5·3) –2 = 1 + 15 – 2 = 14

c) (1 – 12:6) + 3 = 1 – 2 + 3 = 2

d) (–7 – 1):( –2) + (–3) = (–8):( –2) + (–3) = 4 – 3 = 1

e) 8:(2 – 2·3) = 8:( –4) = –2

f) 12 + 6·(–1 –4) = 12 – 30 = –18

g) –(5 –7) – (2 + 8) = –(– 2) – (10) = 2 – 10 = –8

h) –20:4 – (– 3) + 2 = –5 + 3 + 2 = 0

i) 9·(– 1) – (6 + 2):4 = –9 – 8:4 = –9 – 2 = – 11

4.- Calcula las operaciones combinadas

a) 2·(–3 + 5·3) = 2·(–3 + 15) = 2·(12) = 24

b) 12 – (6:2 – 2) = 12 –(3 – 2) = 12 – 1 = 11

c) –(–7·2 –4:2) –(–15) =

 –(–14 –2) + 15 = –(–16) + 15 = 16 + 15 = 31

d) –8:( –3 + 1) – 3·(2·5 – 8) =

 –8:( –2) – 3·(10 – 8) = 4 – 3·2 = 4 – 6 = –2

5.  Potencias

ACTIVIDADES La potencia está formada por una base y un exponente.

Ejemplo 1:  5³ = 5·5·5 = 125

Ejemplo 2:  (–5)³ = (–5)· (–5)· (–5) = –125

Ejemplo 3:  (–5/2)³ = (–5/2)· (–5/2)· (–5/2) = –125/8

Ejemplo 4:  4^-3 = 1/(4·4·4) = 1/64

Ejemplo 5:  (–4)^-3 = 1/{(–4)· (–4)· (–4)} = –64

Ejemplo 6:  (–5/3)^-3 = 1/{ (–5/3)· (–5/3)· (–5/3) } = 1/(–125/27) = –27/125

ACTIVIDADES

1.- Calcula el valor de las potencias

a) 9² =81

b) 3³=27

c) 2⁸=256

d) 8²=64

e) 10⁵=100.000

f) 7³=343

g)2345⁰=1

h) 4⁴=256

i) 1⁸⁷⁶⁵=1

j) 6²=36

k) 5²=25

l) 3⁴=81

2.- Calcula el valor de las potencias

a) (-2)⁶ =-64

b) (-6)²=36

c) (-3)⁴=81

d) -3⁴=81

e) -10⁵=-100.000

f) (-5)²=25

g) (-1)⁹⁸⁰=1

h) (-1)²³¹⁵=-1

i) (-9)²=81

j) (-7)²=49

k) (-10)²=100

l) -3³=8

3.- Calcula el valor de las potencias

a) 2^-2 =1/4=0,25

b) 4^-3=1/64

c) 5^-3=1/125

d) (-2)^-3=-1/8

e) (-3)^-5=-1/2187

f) 3⁴=81

g) (-2/3)^-2=16/9

h) (1/7)^-4=-1/2401

i) (-2/5)^-4=16/625

j) (-4/3)^-2=16/9

k) (-6)^-2=1/36

l) (-1)^-2356=1

6.  Potencias de potencias y Potencias de productos y cocientes

ACTIVIDADES. Productos. La base se mantiene y los exponentes se multiplican.

1.- Calcula el valor de las potencias.

a) (2²)² = 16

b) (3²)³ = 729

c) (4³)² = 4096

d) [(-3)²]² = 81

e) (2^-2)^-3 = 64

f) [(-2)²]⁴ = 256

 64

2.- Calcula el valor de las potencias.

a) (7³)³ = 7⁹

b) (5⁸)⁴ = 5³²

c) [(3⁵)⁴]³ = 3⁶⁰

d) [(-3)⁹]⁶ = 3⁵⁴

e) (6^-4)^-5= 6^-20

f)  [(a)³]⁷ = a²¹

01 Suma de números naturales. Propiedades

Sumar es juntar, añadir o aumentar una cantidad a otra. Las propiedades de la suma de números naturales son:

Conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma o resultado.

a + b = b + a

Asociativa. Se pueden sustituir dos o más sumandos por su suma efectuada y el resultado no varía.

(a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro. La suma de un número más cero da como resultado el mismo número.

a + 0 = a = 0 + a

EJERCICIOS

1.- Comprueba las propiedades de la suma de números naturales. Para ello copia las expresiones algebraicas correspondientes y sustituye las letras por números naturales

2. Calcula

a. 35 + 86 + 476 =

b. 1325 + 54 + 582 + 21 =

3.- Calcula aplicando la propiedad asociativa de la suma:

a. (23 + 68) + (33 + 117) =

b. (539 + 13) + 71 =

4.- En un instituto se han matriculado 254 alumnos en primero; 183 en segundo; 99 en tercero y 68 en cuarto. ¿Cuántos alumnos se han matriculado en total?

5.- En un crucero pueden embarcar 1890 personas. A primera hora embarcaron 998 personas. Faltan por subir al barco 798 personas que están en el muelle. ¿Cuántas personas embarcarán? ¿Irá completo el crucero? ¿Cuántas puede llevar aún?

01 Multiplicación de números naturales. Propiedades

Multiplicar dos factores es sumar un factor tantas veces como indique el otro número. Las propiedades de la multiplicación de números naturales son:

Conmutativa. El orden de los factores no altera el resultado.

a · b = b · a

Asociativa. De tres productos se pueden agrupar dos cualquiera de ellos u otros dos cualquiera y el resultado no varía.

(a · b) · c = a · (b · c)

Elemento neutro. El producto por el número 1  da el mismo número.

a · 1 = a = 1 · a

EJERCICIOS

6.- Comprueba las propiedades de la multiplicación de números naturales. Para ello copia las expresiones algebraicas correspondientes y sustituye las letras por números naturales

7.- Calcula

a. 3471 · 10 =

b. 54200 · 701 =

c. 6545 · 1324 =

8.- Resuelve aplicando la propiedad asociativa de la multiplicación

a. 15 · 16 · 17 =

b. 7 · 8 · 14 =

c. 23· 34 · 45 =

9.- Un camión transporta 3242 cajas con 43 botes en cada caja. ¿Cuántos botes transporta el camión? ¿Cuántos transportaría si hiciera el recorrido 6 veces?

10.- En un montón de trigo hay 8439 kilos y en otro tres veces más. ¿Cuántos kilos de trigo hay en el segundo montón? ¿Cuántos kilos hay entre los dos montones?

01 Resta de números naturales. Propiedades

Restar es quitar de una cantidad de cosas otra cantidad para disminuir, comparar o completar una cantidad con otra. Según la propiedad fundamental de la resta, el minuendo es igual al sustraendo más la diferencia. Si a - b = c, entonces a = b + c. En consecuencia, si a - b = c, entonces b = a - c.

11.-  Comprueba con números la propiedad fundamental de la resta y su consecuencia

12.- Durante unas maniobras militares un submarino de la armada española bajó 400 metros bajo el nivel del mar. Después de una hora sube 100 m. después de dos horas vuelve a bajar 150 metros. Por último, sube 175 metros. ¿A qué altura se encuentra después de esta última subida?

13.- Realiza las siguientes restas:

a)      23.234- 1.768 =

b)      34.879.341 – 2.769 =

c)       696 – 23 =

a)      1.362.345 – 9.869 =

b)      243.565 – 90.897 =

c)       79.905 – 12.301 =

14.- ¿Cuánto me sobra si tengo 20 € y compro 5 libretas de 2,25 euros cada una?

15.- Carlos tiene 124 cromos de mamíferos, 69 cromos de insectos más que de mamíferos y 38 cromos de aves más que de insectos. ¿Cuántos cromos le faltan a Carlos para completar una colección de 1000 cromos?

16.- Antonio tiene 1250 euros ahorrados. Con eso dinero paga la luz, 110 euros. El teléfono móvil son 75 euros. La reparación del ordenador son 150 euros. Su abuela, como ha tenido muchos, le ha regalado 100 euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora Antonio?

Recordemos que se pueden multiplicar y dividir números negativos y positivos.

Si tienen el signo positivo, la operación se resuelve sin mayor problema como ya sabemos.

Si sólo hay dos números negativos, se hace la multiplicación o división, y se pone el signo positivo.

Si hubiera dos números con signo diferente, haremos la operación, y después ponemos signo negativo.

17.- Realiza las siguientes operaciones

a)      12·3 =

b)      12·(-3) =

c)       (-12)·(-3) =

d)      2·3 =

e)      (-2)·3 =

f)       (-2)·(-3) =

g)      6·7 =

h)      6·(-7) =

i)        (-6)·(-7) =

j)        15·5 =

k)      (-15)·(-5) =

l)        (-15)·5 =

m)    100·8 =

n)      (-100)·8 =

o)      100·(-8) =

p)      45·2 =

q)      (-45)·(-2) =

r)       (-2)·45 =

s)       20·5 =

t)       (-20)·(-5) =

u)      20·(-5) =

v)      60·3 =

w)    (-60)·(-3) =

x)      (-3)·60 =

y)      50·5 =

z)       (-5)·50 =

aa)   (-5)·(-50) =

18.- Realiza las siguientes operaciones

a)      12/3 =

b)      12/(-3) =

c)       (-12)/(-3) =

d)      27/3 =

e)      (-27)/3 =

f)       (-27)/(-3) =

g)      63/7 =

h)      63/(-7) =

i)        (-63)/(-7) =

j)        15/5 =

k)      (-15)/(-5) =

l)        (-15)/5 =

m)    104/8 =

n)      (-104)/8 =

o)      104/(-8) =

p)      45/3 =

q)      (-45)/(-3) =

r)       45/(-3) =

s)       20/5 =

t)       (-20)/(-5) =

u)      20/(-5) =

v)      60/3 =

w)    (-60)/(-3) =

x)      60/(-3) =

y)      50/5 =

z)       50/(-5) =

aa)   (-50)/(-5) =

Como habrás observado la regla de signos es la siguiente:

+·+ = +

+·- = -

-·- = +

-·+ = -

19.- Resuelve las siguientes operaciones. La multiplicación y la división tienen prioridad sobre la suma y la resta

a)      25 + [6 – (2·3 +9)] -1 =

b)      125 - 2·[5 – (2·2 +9)] -1 =

c)       25 + [6 ·(2·3 +9)] -11 =

d)      (-2)·(-25) + 3·[6 + (2·(-3) +9)] -1 =